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浅谈数学思维能力的培养         
浅谈数学思维能力的培养
[ 作者:成成 | 转贴自:本站原创 | 点击数:11445 | 更新时间:2006/11/5 | 文章录入:xuwancheng ]

中学数学教学大纲(试验修订本)将培养学生三大能力之一"逻辑思维能力"改为"思维能力",虽然只是去掉两个字,热血传奇私服概念内涵却更加丰富,人们在教育实践中实现了认识上转变。在注重逻辑思维能力培养同时,还应该注重观察力、直觉力、想象力培养。特别是直觉思维能力培养由于长期得不到重视,学生在学习过程中对数学本质容易造成误解,认为数学是枯燥乏味;同时对数学学习也缺乏取得成功必要信心,从而丧失数学学习兴趣。过多注重逻辑思维能力培养,不利于思维能力整体发展。培养直觉思维能力是社会发展需要,是适应新时期社会对人才需求。

一、数学直觉概念界定
  简单说,数学直觉是具有意识人脑对数学对象(结构及其关系)某种直接领悟和洞察。
  对于直觉作以下说明:
  (1)直觉与直观、直感区别
  直观与直感都是以真实事物为对象,通过各种感觉器官直接获得感觉或感知。例如等腰三角形两个底角相等,两个角相等三角形是等腰三角形等概念、性质界定并没有一个严格证明,只是一种直观形象感知。而直觉研究对象则是抽象数学结构及其关系。庞加莱说:"直觉不必建立在感觉明白之上.感觉不久便会变无能为力。例如,我们仍无法想象千角形,但我们能够通过直觉一般地思考多角形,多角形把千角形作为一个特例包括进来。"由此可见直觉是一种深层次心理活动,没有具体直观形象和可操作逻辑顺序作思考背景。正如迪瓦多内所说:"这些富有创造性科学家与众不同地方,在于他们对研究对象有一个活全生构想和深刻了解,这些构想和了解结合起来,就是所谓'直觉'……,因为它适用对象,一般说来,在我们感官世界中是看不见"
  (2)直觉与逻辑关系
  从思维方式上来看,思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意把两者分离开来,其实这是一种误解,逻辑思维与直觉思维从来就不是割离。有一种观点认为逻辑重于演绎,而直观重于分析,从侧重角度来看,此话不无道理,但侧重并不等于完全,数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明东西,人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉,甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界反映,它是人们对生活现象与世界运行秩序直觉体现,再以数学形式将思考理性过程格式化。数学最初概念都是基于直觉,数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展,问题解决也离不开直觉,下面我们就以数学问题证明为例,来考察直觉在证明过程中所起作用。
  一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多"演绎推理元素",一个成功数学证明是这些基本运算或"演绎推理元素"一个成功组合,仿佛是一条从出发点到目通道,一个个基本运算和"演绎推理元素"就是这条通道一个个路段,当一个成功证明摆在我们面前开始,逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利到达目地,但是逻辑却不能告诉我们,为什么这些路径选取与这样组合可以构成一条通道。事实上,出发不久就会遇上叉路口,也就是遇上了正确选择构成通道路段问题。庞加莱认为,即使能复写出一个成功数学证明,但不知道是什么东西造成了证明一致性,……,这些元素安置顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中每一步,直觉力都是不可缺少。就好似我们平时打篮球,要靠球感一样,在快速运动中来不及去作逻辑判断,动作只是下意识,而下意识动作正是在平时训练产生一种直觉。
  在教育过程中,老师由于把证明过程过分严格化、程序化。学生只是见到一具僵硬逻辑外壳,直觉光环被掩盖住了,而把成功往往归功于逻辑功劳,对自己直觉反而不觉得。学生内在潜能没有被激发出来,学习兴趣没有被调动起来,得不到思维真正乐趣。《中国青年报》曾报道,"30初中生学习了平面几何推理之后,丧失了对数学学习兴趣",这种现象应该引起数学教育者重视与反思。
 

二、直觉思维主要特点
  直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点,从培养直觉思维必要性来看,笔者以为直觉思维有以下三个主要特点:
  (1)简约性
  直觉思维是对思维对象从整体上考察,调动自己全部知识经验,通过丰富想象作出敏锐而迅速假设,猜想或判断,它省去了一步一步分析推理中间环节,而采取了"跳跃式"形式。它是一瞬间思维火花,是长期积累上一种升华,是思维者灵感和顿悟,是思维过程高度简化,但是它却清晰触及到事物"本质"
  (2)创造性
  现代社会需要创造性人才,我国教材由于长期以来借鉴国外经验,过多注重培养逻辑思维,培养人才大多数习惯于按部就班、墨守成规,缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上把握,不专意于细节推敲,是思维大手笔。正是由于思维无意识性,它想象才是丰富,发散,使人认知结构向外无限扩展,因而具有反常规律独创性。
  伊恩.斯图加特说:"直觉是真正数学家赖以生存东西",许多重大发现都是基于直觉。欧几里得几何学五个公设都是基于直觉,从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌大厦;哈密顿在散步路上进发了构造四元素火花;阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假方法;凯库勒发现苯分了环状结构更是一个直觉思维成功典范。
  (3)自信力
  学生对数学产生兴趣原因有两种,一种是教师人格魅力,其二是来自数学本身魅力。不可否认情感重要作用,但笔者观点是,兴趣更多来自数学本身。成功可以培养一个人自信,直觉发现伴随着很强"自信心"。相比其它物资奖励和情感激励,这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用通过逻辑证明形式而是通过自己直觉获得,那么成功带给他震撼是巨大,内心将会产生一种强大学习钻研动力,从而更加相信自己能力。
  高斯在小学时就能解决问题"1+2+ …… +99+100?",这是基于他对数敏感性超常把握,这对他一生成功产生了不可磨灭影响。而现在中学生极少具有直觉意识,对有限直觉也半信半疑,不能从整体上驾驭问题,也就无法形成自信。
 

三、直觉思维培养
  一个人数学思维,判断能力高低主要取决于直觉思维能力高低。徐利治教授指出:"数学直觉是可以后天培养,实际上每个人数学直觉也是不断提高"数学直觉是可以通过训练提高
  (!)扎实基础是产生直觉源泉
  直觉不是靠"机遇",直觉获得虽然具有偶然性,但决不是无缘无故凭空臆想,而是以扎实知识为基础。若没有深厚功底,是不会进发出思维火花。阿提雅说:"一旦你真正感到弄懂一样东西,而且你通过大量例子以及通过与其它东两联系取得了处理那个问题足够多经验.对此你就会产生一种关于正在发展过程是怎么回事以及什么结论应该是正确直觉。"阿达玛曾风趣说:"难道一只猴了也能应机遇而打印成整部美国宪法吗?"
  (2)渗透数学哲学观点及审美观念
  直觉产生是基于对研究对象整体把握,而哲学观点有利于高屋建邻把握事物本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如(a+b2= a2+2ab-b2 ,即使没有学过完全平方公式,也可以运用对称观点判断结论真伪。
  美感和美意识是数学直觉本质,提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着和谐关系及秩序直觉意识,审美能力越强,则数学直觉能力也越强。狄拉克于1931年从数学对称角度考虑,大胆提出了反物质假说,他认为真空中反电子就是正电子。他还对麦克斯韦方程组提出质疑,他曾经说,如果一个物理方程在数学上看上去不美,那么这个方程正确性是可疑
  (3)重视解题教学
  教学中选择适当题目类型,有利于培养,考察学生直觉思维。
  例如选择题,由于只要求从四个选择支中挑选出来,省略解题过程,容许合理猜想,有利于直觉思维发展。实施开放性问题教学,也是培养直觉思维有效方法。开放性问题条件或结论不够明确,可以从多个角度由果寻因,由因索果,提出猜想,由于答案发散性,有利于直觉思维能力培养。
  (4)设置直觉思维意境和动机诱导
  这就要求教师转变教学观念,把主动权还给学生。对于学生大胆设想给予充分肯定,对其合理成分及时给予鼓励,爱护、扶植学生自发性直觉思维,以免挫伤学生直觉思维积极性和学生直觉思维悟性。教师应及时因势利导,解除学生心中疑惑,使学生对自己直觉产生成功喜悦感。
  "跟着感觉走"是教师经常讲一句话,其实这句话里已蕴涵着直觉思维萌芽,只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇在课堂教学中明确提出,制定相应活动策略,从整体上分析问题特征;重视数学思维方法教学,诸如:换元、数形结合、归纳猜想、反证法等,对渗透直觉观念与思维能力发展大有稗益。

四、精心创设问题情境,诱发学生思维积极性。

学习兴趣和求知欲是学生能否积极思维动力。要激发学生学习数学兴趣和求知欲,行之有效方法是创设合适问题情境。在数学问题情境中,新需要与学生原有数学水平之间存在着认识冲突,这种冲突能诱发学生数学思维积极性。

教师在创设问题时,衡量问题情境设计标准有两个:(一)有利于激发学生思维积极性。(二)要直接有利于教学目

五、启发引导,保持思维待续性。

在合适问题情境中,学生思维积极性被充分调动起来,但怎样保持这种积极性,使其持续下去而不中断呢?

1、要给学生思考时间

数学学习是通过思考进行,没有学生思考就没有真正数学学习,而思考问题是需要一定时间。值得研究是,教师提出问题后,应该给学生多少思考时间。实验表明,思考时间若非常短,学生回答通常也很简短,但若把思考时间延长一点时间,学生就会更加全面和较为完整回答问题,这样,合乎要求和正确回答率就会提高。当然,思考时间长短,是与问题难易程度和学生实际水平密切相关。目前在课堂学习中,教师提出问题后,不给思考时间,要求学生立刻回答。当学生不能立刻回答时,便不断重复他问题,或者另外提出一些问题来弥补这个"冷场"。其实,这是干扰学生思考,"冷场"往往是学生正在思考,表面冷静,实际上思维活动却很活跃。

2、启发要与学生思维同步

教师提出问题后,一般要让学生先作一番思考,必要时教师可作适当启发引导。教师启发要遵循学生思维规律,因势利导,循序渐进,不要强制学生按照教师提出方法和途径去思考问题,喧宾夺主。

 3、要不断向学生提出新教学问题

问题是教学心脏,是教学思维动力,且是思维方向;数学思维过程也就是不断地提出问题和解决问题过程。因此,在数学课堂学习中,教师要不断地向学生提出新数学问题,为更深入数学思维活动提供动力和方向,使数学思维活动持续不断向前发展。合适数学问题必须符合下列条件:

1) 问题要有方向性。这是指问题要有明确,要使学生思维趋向于教学目标。

2)问题难度要适中。这是指问题不宜太难和太易,难易之间要有一定坡度。

3)问题要有启发性。有教师往往把启发式误认为提问式,认为问题提得越多越好,其实,问题并不在多少,而在于是否具有启发性,是否是关键性问题,是否能够触及问题本质,并引导学生深入思考。

六、结束语
  直觉思维与逻辑思维同等重要,偏离任何一方都会制约一个人思维能力发展,伊思.斯图尔特曾经说过这样一句话,"数学全部力量就在于直觉和严格性巧妙结合在一起,受控制精神和富有灵感逻辑。"受控制精神和富有美感逻辑正是数学魅力所在,也是数学教育者努

在课堂教学中,精心创设问题情境,激发与引导学生思维是能调动学生学习积极性,提高学习成绩

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